为了加快经济的发展，某省选择A、B两城市作为龙头带动周边城市的发展，决定在A、B两城市的周边修建城际轻轨，假设10km为一个单位距离，A、B两城市相距8个单位距离，设城际轻-数学试题及答案

1、试题题目：为了加快经济的发展，某省选择A、B两城市作为龙头带动周边城市的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-21 07:30:00

试题原文

为了加快经济的发展，某省选择A、B两城市作为龙头带动周边城市的发展，决定在A、B两城市的周边修建城际轻轨，假设10km为一个单位距离，A、B两城市相距8个单位距离，设城际轻轨所在的曲线为E，使轻轨E上的点到A、B两市的距离之和为10个单位距离．
（1）建立直角坐标系，求城际轻轨所在曲线E的方程；
（2）若要在曲线E上建一个加油站M与一个收费站N，使M、N、B三点在一条直线上，并且AM+AN=12个单位距离，求M、N之间的距离有多少个单位距离？
（3）在A、B两城市之间有一条与AB所在直线成45°的笔直公路l，直线l与曲线E交于P，Q两点，求四边形PAQB的面积的最大值．

试题来源：蓝山县模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与椭圆方程的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）以AB为x轴，以AB中点为原点O建立直角坐标系．
设曲线E上点P（x，y），
∵|PA|+|PB|=10＞|AB|=8
∴动点轨迹为椭圆，
且a=5，c=4，从而b=3．
∴曲线E的方程为

x2

25

+

y2

9

=1．（4分）
（2）∵|AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20，
|AM|+|AN|=12，
所以|MN|=8．（8分）
（3）将y=x+t代入

x2

25

+

y2

9

=1，
得34y²-18ty+9t²-25×9=0．
设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
则y₁+y₂=

9t

17

，y₁y₂=

9t2-25×9

34

．
|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

17

50×9×17-9×25t2

，
S=S_△ABP+S_△ABQ=

1

2

AB?|y₁-y₂|=

8

34

50×9×17-9×25t2

，
所以当t=0时，面积最大是

60

17

34

，
此时直线为l：y=x．（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“为了加快经济的发展，某省选择A、B两城市作为龙头带动周边城市的..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与椭圆方程的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与椭圆方程的应用”。

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