发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2016-02-21 07:30:00
试题原文 |
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(Ⅰ)解法一:依题意,可设直线AB的方程为y=k(x-1)+3, 代入3x2+y2=λ,整理得:(k2+3)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ=0① 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个不同的根, ∴△=4[λ(k2+3)-3(k-3)2]>0,② 且x1+x2=
∴k(k-3)=k2+3解得k=-1,代入②得λ>12, 即λ的取值范围是(12,+∞). 于是直线AB的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0. 解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则有
依题意,x1≠x2,∴kAB=-
∵N(1,3)是AB的中点,∴x1+x2=2,y1+y2=6,从而kAB=-1. 又由N(1,3)在椭圆内,∴λ>3×12+32=12, ∴λ的取值范围是(12,+∞). 直线AB的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0. (Ⅱ)解法一:∵CD垂直平分AB, ∴直线CD的方程为y-3=x-1,即x-y+2=0代入椭圆方程,整理得4x2+4x+4-λ=0.③ 又设C(x3,y3),D(x4,y4),CD的中点为M(x0,y0), 则x3,x4是方程③的两根, ∴x3+x4=-1,且x0=
于是由弦长公式可得|CD|=
将直线AB的方程x+y-4=0代入椭圆方程得4x2-8x+16-λ=0.⑤ 同理可得|AB|=
∵当λ>12时,
∴|AB|<|CD|. 假设存在λ>12,使得A、B、C、D四点共圆,则CD必为圆的直径,点M为圆心. 点M到直线AB的距离为d=
于是,由④⑥⑦式及勾股定理可得|MA|2=|MB|2=d2+|
故当λ>12时,A、B、C、D四点均在以M为圆心,|
(注:上述解法中最后一步可按如下解法获得: A、B、C、D共圆?ACD为直角三角形,A为直角?|AN|2=|CN|?|DN|, 即(
由⑥式知,⑧式左边=
由④⑦知,⑧式右边=(
∴⑧式成立,即A、B、C、D四点共圆.) 解法二:由(Ⅱ)解法一知λ>12, ∵CD垂直平分AB, ∴直线CD的方程为y-3=x-1,代入椭圆方程,整理得4x2+4x+4-λ=0.③ 将直线AB的方程x+y-4=0代入椭圆方程整理得4x2-8x+16-λ=0.⑤ 解③和⑤式可得x1,2=
不妨设A(1+
C(
∴
计算可得
∴A在以CD为直径的圆上. 又B为A关于CD的对称点, ∴A、B、C、D四点共圆. |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段A..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与椭圆方程的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中直线与椭圆方程的应用”。