已知F1(-3，0)，F2(3，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=4，记动点P的轨迹为E．（1）求E的方程；（2）曲线E的一条切线为l，过F1，F2作l的垂线，垂足分别为M，N，求|F1M|?|F2N|的值；（3）曲-数学试题及答案

1、试题题目：已知F1(-3，0)，F2(3，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=4，记动点P的轨..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-21 07:30:00

试题原文

已知F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4，记动点P的轨迹为E．
（1）求E的方程；
（2）曲线E的一条切线为l，过F₁，F₂作l的垂线，垂足分别为M，N，求|F₁M|?|F₂N|的值；
（3）曲线E的一条切线为l，与x轴分别交于A，B两点，求|AB|的最小值，并求此时切线的斜率．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与椭圆方程的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵|F1F2|=2

3

又∵|PF1|+|PF2|=4＞2

3

∴P点轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆，2a=4，2c=2

3

，
故椭圆方程为

x2

4

+y2=1
（2）①当切线斜率不存在时，切线为x=±2，此时|F₁M|?|F₂N|=1．
②当切线斜率存在时，设切线方程为y=kx+b，

x2

4

+y2=1

y=kx+b

（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0
△=（8kb）²-4（1+4k²）（4b²-4）=0，
∴b²=4k²，|F1M|=

|-

3

k+b|

k2+1

，|F2N|=

|

3

k+b|

k2+1

，|F1M|?|F2N|=

|b2-3k2|

k2+1

=

|4k2+1-3k2|

k2+1

=1，
综上所述，|F₁M|?|F₂N|=1．
（3）由（2）知，A(-

b

k

，0)，B(0，b)，|AB|=

b2

k2

+b2

=

4k2+1

k2

+4k2+1

=

1

k2

+4k2+5

≥

2

1

k2

?4k2

+5

=3
当且仅当

1

k2

=4k2，即k=±

2

时取等号
故AB²的最小值为3，此时斜率为±

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知F1(-3，0)，F2(3，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=4，记动点P的轨..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与椭圆方程的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与椭圆方程的应用”。

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