以F1（0，-1），F2（0，1）为焦点的椭圆C过点P(22，1)．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点S(-13，0)的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动-数学试题及答案

1、试题题目：以F1（0，-1），F2（0，1）为焦点的椭圆C过点P(22，1)．（Ⅰ）求椭圆C的方..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-21 07:30:00

试题原文

以F₁（0，-1），F₂（0，1）为焦点的椭圆C过点P(

2

，1)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点S(-

1

3

，0)的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与椭圆方程的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），∵椭圆过点P(

2

，1)，则由椭圆的定义知
2a=|PF₁|+|PF₂|=

(

2

)2+22

+

(

2

)2+02

=2

2

所以，a=

2

，b²=a²-c²=1，
椭圆C的方程为x2+

y2

2

=1．
（II）解法一：
若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x²+y²=1；
若直线l垂直于x轴时，则以AB为直径的圆是(x+

1

3

)2+y2=

16

9

由

(x+

1

3

)2+y2=

16

9

x2+y2=1

解得

x=1

y=0

，所以两圆相切于点（1，0）．
因此，如果存在点T满足条件，则该点只能是（1，0）
下面证明T（1，0）就是所求的点．
若直线l垂直于x轴时，
则以AB为直径的圆经过点（1，0）；
若直线l不垂直于x轴时，可设直线l：y=k(x+

1

3

)
由

x2+

y2

2

=1

y=k(x+

1

3

)

，整理得(k2+2)x2+

2

3

k2x+

1

9

k2-2=0
记A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则

x1+x2=

-2k2

3(k2+2)

x1x2=

k2-18

9(k2+2)

又因为

TA

=(x1-1，y1)，

TB

=(x2-1，y2)，
则

TA

?

TB

=(x1-1，y1)?(x2-1，y2)=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂
=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+

1

3

)(x2+

1

3

)=(k2+1)x1x2+(

1

3

k2-1)(x1+x2)+

1

9

k2+1
=(k2+1)?

k2-18

9(k2+2)

+(

1

3

k2-1)?

-2k2

3(k2+2)

+

1

9

k2+1=0
所以，TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过定点T（1，0），
故平面上存在一个定点T（1，0）满足题设条件
解法二：（I）由已知c=1，设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

a2-1

=1 (a＞1)．
因为点P在椭圆上，则

1

a2

+

1

2

a2-1

=1 (a＞1)，解得a²=2，
所以椭圆方程为x2+

y2

2

=1
（II）如果存在定点T（u，v）满足条件．
若直线l垂直于x轴时，
则以AB为直径的圆经过点（1，0）；
若直线l不垂直于x轴时，可设直线l：y=k(x+

1

3

)．
由

x2+

y2

2

=1

y=k(x+

1

3

)

，整理得(k2+2)x2+

2

3

k2x+

1

9

k2-2=0
记A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则

x1+x2=

-2k2

3(k2+2)

x1x2=

k2-18

9(k2+2)

∵又因为

TA

=(x1-u，y1-v)，

TB

=(x2-u，y2-v)，
则

TA

?

TB

=(x1-u，y1-v)?(x2-u，y2-v)=（x₁-u）（x₂-u）+（y₁-v）（y₂-v）
=(x1-u)(x2-u)+(kx1+

1

3

k-v)(kx2+

1

3

k-v)
=(k2+1)x1x2+(

1

3

k2-u-kv)(x1+x2)+

1

9

k2-

2

3

kv+u2+v2
=(k2+1)?

k2-18

9(k2+2)

+(

1

3

k2-u-kv)?

-2k2

3(k2+2)

+

1

9

k2-

2

3

kv+u2+v2
=

(3u2+2u+3v2-5)k2-4vk+6u2+6v2-6

3(k2+2)

当且仅当

TA

?

TB

=0恒成立时，以AB为直径的圆恒过点T（u，v）．

TA

?

TB

=0恒成立等价于

3u2+2u+3v2-5=0

-4v=0

6u2+6v2-6=0

，
解得u=1，v=0
所以当u=1，v=0时，无论直线l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T（1，0）．
故平面上存在一个定点T（1，0）满足题目条件．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“以F1（0，-1），F2（0，1）为焦点的椭圆C过点P(22，1)．（Ⅰ）求椭圆C的方..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与椭圆方程的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与椭圆方程的应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：