椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=43，|PF2|=143.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心，交椭圆C于A，B两点-数学试题及答案

1、试题题目：椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1，F2，点P在椭..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-21 07:30:00

试题原文

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点为F₁，F₂，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=

4

3

，|PF2|=

14

3

.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l过圆x²+y²+4x-2y=0的圆心，交椭圆C于A，B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程．

试题来源：北京试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与椭圆方程的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF₁|+|PF₂|=6，a=3．
在Rt△PF₁F₂中，|F1F2|=

|PF2|2-|PF1|2

=2

5

，
故椭圆的半焦距c=

5

，
从而b²=a²-c²=4，
所以椭圆C的方程为

x2

9

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）解法一：
设A，B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．
已知圆的方程为（x+2）²+（y-1）²=5，
所以圆心M的坐标为（-2，1）．
从而可设直线l的方程为
y=k（x+2）+1，
代入椭圆C的方程得
（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0．
因为A，B关于点M对称．
所以

x1+x2

2

=-

18k2+9k

4+9k2

=-2.
解得k=

8

9

，
所以直线l的方程为y=

8

9

(x+2)+1，
即8x-9y+25=0．
（经检验，所求直线方程符合题意）
（Ⅱ）解法二：
已知圆的方程为（x+2）²+（y-1）²=5，
所以圆心M的坐标为（-2，1）．
设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由题意x₁≠x₂且

x12

9

+

y12

4

=1，①

x22

9

+

y22

4

=1，②
由①-②得

(x1-x2)(x1+x2)

9

+

(y1-y2)(y1+y2)

4

=0.③
因为A、B关于点M对称，
所以x₁+x₂=-4，y₁+y₂=2，
代入③得

y1-y2

x1-x2

=

8

9

，
即直线l的斜率为

8

9

，
所以直线l的方程为y-1=

8

9

（x+2），
即8x-9y+25=0．
（经检验，所求直线方程符合题意．）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1，F2，点P在椭..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与椭圆方程的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与椭圆方程的应用”。

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