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1、试题题目:已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的最大值为..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2016-02-21 07:30:00

试题原文

已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的最大值为3,最小值为1.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N(M、N不是左、右顶点),且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A.求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.

  试题来源:山东   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:直线与椭圆方程的应用



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(Ⅰ)设椭圆的长半轴为a,半焦距为c,
a+c=3
a-c=1
解得
a=2
c=1

∴椭圆C的标准方程为
x2
4
+
y2
3
=1

(Ⅱ)由方程组
x
4
+
y2
3
=1
y=kx+m
消去y,
得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0
由题意:△=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0
整理得:3+4k2-m2>0 ①
设M(x1,y1)、N(x2,y2),
x1+x2=-
8km
3+4k2
x1x2=
4m2-12
3+4k2

由已知,AM⊥AN,且椭圆的右顶点为A(2,0)
∴(x1-2)(x2-2)+y1y2=0
即(1+k2)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=0
也即(1+k2)?
4m2-12
3+4k2
+(km-2)?
-8km
3+4k2
+m2+4=0

整理得:7m2+16mk+4k2=0
解得:m=-2k或m=-
2k
7
,均满足①
当m=-2k时,直线l的方程为y=kx-2k,过定点(2,0),舍去
m=-
2k
7
时,直线l的方程为y=k(x-
2
7
)
,过定点(
2
7
,0)

故直线l过定点,且定点的坐标为(
2
7
,0)
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的最大值为..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与椭圆方程的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中直线与椭圆方程的应用”。


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