已知函数f（x）=lnx+ax2+bx（其中a，b）为常数且a≠0）在x=1处取得极值．（I）当a=1时，求f（x）的单调区间；（II）若f（x）在（0，e]上的最大值为1，求a的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx+ax2+bx（其中a，b）为常数且a≠0）在x=1处取得极值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx+ax²+bx（其中a，b）为常数且a≠0）在x=1处取得极值．
（I）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（II）若f（x）在（0，e]上的最大值为1，求a的值．

试题来源：海淀区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）因为f（x）=lnx+ax²+bx所以f′（x）=

1

x

+2ax+b，…（2分）
因为函数f（x）=lnx+ax²+bx在x=1处取得极值
f′（1）=1+2a+b=0…（3分）
当a=1时，b=-3，f′（x）=

2x2-3x+1

x

，
f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x

（0，

1

2

）

1

2

（

1

2

，1）

1

（1，+∞）

f′（x）

+

0

-

0

+

f（x）

增

极大值

减

极小值

增

…（5分）
所以f（x）的单调递增区间为（0，

1

2

），（1，+∞）
单调递减区间为（

1

2

，1）…（6分）
（II）因为f′（x）=

(2ax-1)(x-1)

x

令f′（x）=0，x₁=1，x₂=

1

2a

…（7分）
因为f（x）在 x=1处取得极值，所以x₂=

1

2a

≠x₁=1，
当

1

2a

＜0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减
所以f（x）在区间（0，e]上的最大值为f（1），
令f（1）=1，解得a=-2…（9分）
当a＞0，x₂=

1

2a

＞0
当

1

2a

＜1时，f（x）在（0，

1

2a

）上单调递增，（

1

2a

，1）上单调递减，（1，e）上单调递增
所以最大值1可能在x=

1

2a

或x=e处取得
而f（

1

2a

）=ln

1

2a

+a（

1

2a

）²-（2a+1）

1

2a

=ln

1

2a

-

1

4a

＜0
所以f（e）=lne+ae²-（2a+1）e=1，解得a=

1

e-2

…（11分）
当1≤

1

2a

＜e时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，（1，

1

2a

）上单调递减，（

1

2a

，e）上单调递增
所以最大值1可能在x=1或x=e处取得
而f（1）=ln1+a-（2a+1）＜0
所以f（e）=lne+ae²-（2a+1）e=1，
解得a=

1

e-2

，与1＜x₂=

1

2a

＜e矛盾…（12分）
当x₂=

1

2a

≥e时，f（X）在区间（0，1）上单调递增，在（1，e）单调递减，
所以最大值1可能在x=1处取得，而f（1）=ln1+a-（2a+1）＜0，矛盾
综上所述，a=

1

e-2

或a=-2．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx+ax2+bx（其中a，b）为常数且a≠0）在x=1处取得极值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：