已知函数f(x)=12ax2+2x-lnx（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间[13，2]上是增函数，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=12ax2+2x-lnx（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）若f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

2

ax2+2x-lnx
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间[

1

3

，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数的定义域为（0，+∞）
∵f(x)=

1

2

ax2+2x-lnx当a=0时，f（x）=2x-lnx，则f′(x)=2-

1

x

∴x，f'（x），f（x）的变化情况如下表

x

（0，

1

2

）

1

2

（

1

2

，+∞）

f'（x）

-

0

+

f（x）

极小值

∴当x=

1

2

时，f（x）的极小值为1+ln2，函数无极大值．
（2）由已知，得f(x)=

1

2

ax2+2x-lnx，且x＞0，则f′(x)=ax+2-

1

x

=

ax2+2x-1

x

若a=0，由f'（x）＞0得x＞

1

2

，显然不合题意
若a≠0∵函数f（x）区间[

1

3

，2]是增函数
∴f'（x）≥0对x∈[

1

3

，2]恒成立，即不等式ax²+2x-1≥0对x∈[

1

3

，2]恒成立
即 a≥

1-2x

x2

=

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2-1恒成立故a≥[(

1

x

-1)2-1]max
而当x=

1

3

，函数(

1

x

-1)2-1的最大值为3，∴实数a的取值范围为a≥3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=12ax2+2x-lnx（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）若f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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