已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-23和x=1时都取得极值．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值（用含c的代数式表示）；（3）若对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-23和x=1时都取得极值．（1）求a，b的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

2

3

和x=1时都取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值（用含c的代数式表示）；
（3）若对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=3x²+2ax+b …1
因为函数f（x）在x=-

2

3

和x=1取到极值，即f′（-

2

3

）=0，f′（1）=0．
所以，f′（-

2

3

）=

12

9

-

4

3

a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0
解得 a=-

1

2

，b=-2 …3

（2）由（1）可得f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c

x

-1

（-1，-

2

3

）

-

2

3

（-

2

3

，1）

1

（1，2）

2

f'（x）

+

0

-

0

+

f（x）

1

2

+c

递增

+c

递减

-

3

2

+c

递增

2+c

所以，在[-1，2]上 f_min（x）=f（1）=-

3

2

+c，f_max（x）=f（2）=2+c…7
（3）要使f（x）＜c²在x∈[-1，2]恒成立，只需f_max（x）＜c²，即2+c＜c²
解得 c＜-1或c＞2 …10

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-23和x=1时都取得极值．（1）求a，b的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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