已知函数f（x）=12x2+(34a2+12a)1nx-2ax（1）当a=-12时，求f（x）的极值点；（2）若f（x）在f′（x）的单调区间上也是单调的，求实数a的范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=12x2+(34a2+12a)1nx-2ax（1）当a=-12时，求f（x）的极值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1

2

x2+(

3

4

a2+

1

2a

) 1nx-2ax
（1）当a=-

1

2

时，求f（x）的极值点；
（2）若f（x）在f′（x）的单调区间上也是单调的，求实数a的范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=-

1

2

时，f（x）=

1

2

x²-

1

16

lnx+x （x＞0）
由f′（x）=x-

1

16x

+1=

16x2+16x-1

16x

=0，可得x₁=

-2-

5

4

，x₂=

-2+

5

4

…2′
当（0，

-2+

5

4

）时，f′（x）＜0，函数单调减，当（

-2+

5

4

，+∞）时，f′（x）＞0，函数单调增…3′
∴f（x）在x=

-2+

5

4

时取极小值…4′
（2）f′（x）=

x2-2ax+

3

4

a2+

1

2a

x

（x＞0）…5′
令g（x）=x²-2ax+

3

4

a²+

1

2

a，△=4a²-3a²-2a=a²-2a，设g（x）=0的两根x₁，x₂（x₁＜x₂）…7′
1°、当△≤0时，即0≤a≤2，f′（x）≥0，∴f（x）单调递增，满足题意…9′
2°、当△＞0时即a＜0或a＞2时
①若x₁＜0＜x₂，则

3

4

a²+

1

2

a＜0 即-

2

3

＜a＜0时，f（x）在（0，x₂）上单调减，（x₂，+∞上单调增
f′（x）=x+

3

4

a2+

1

2a

x

-2a，f″（x）=1-

3

4

a2+

1

2a

x2

≥0，∴f′（x）在（0，+∞）单调增，不合题意…11′
②若x₁＜x₂＜0，则

3

4

a2+

1

2

a≥0

a＜0

，即a≤-

2

3

时，f（x）在（0，+∞）上单调增，满足题意．…13′
③若0＜x₁＜x₂，，则

3

4

a2+

1

2

a＞0

，即a＞2时，f（x）在（0，x₁）单调增，（x₁，x₂）单调减，（x₂，+∞）单调增，不合题意…15′
综上得a≤-

2

3

或0≤a≤2．…16′

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=12x2+(34a2+12a)1nx-2ax（1）当a=-12时，求f（x）的极值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：