已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1．（I）求a=2时，讨论f(x)的单调性；（II）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1．（I）求a=2时，讨论f(x)的单调性；（II）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+3ax²+3x+1．
（I）求a=

2

时，讨论f(x)的单调性；
（II）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）当a=

2

时，f（x）=x³+3

2

x²+3x+1，
f′（x）=3x²+6

2

x+3，令f′（x）=0，可得x=-

2

-1，或x=-

2

+1，
当x∈（-∞，-

2

-1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（-

2

-1，-

2

+1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（-

2

+1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
（II）由f（2）≥0，可解得a≥-

5

4

，当a≥-

5

4

，x∈（2，+∞）时，
f′（x）=3（x²+2ax+1）≥3（x2-

5

2

x+1）=3（x-

1

2

）（x-2）＞0，
所以函数f（x）在（2，+∞）单调递增，于是当x∈[2，+∞）时，f（x）≥f（2）≥0，
综上可得，a的取值范围是[-

5

4

，+∞）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1．（I）求a=2时，讨论f(x)的单调性；（II）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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