已知函数f(x)=alnx-(a+1)x+12x2(a≥0)．（Ⅰ）若直线l与曲线y=f（x）相切，切点是P（2，0），求直线l的方程；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=alnx-(a+1)x+12x2(a≥0)．（Ⅰ）若直线l与曲线y=f（x）相切..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数 f(x)=alnx-(a+1)x+

1

2

x2(a≥0)．
（Ⅰ）若直线l与曲线y=f（x）相切，切点是P（2，0），求直线l的方程；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性．

试题来源：丰台区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）因为切点是P（2，0），
∴f(2)=aln2-2(a+1)+

1

2

×22=0，∴a=0，
∴函数f（x）=

1

2

x2-x，又f′（x）=x-1，
所以切线的斜率为：f′（2）=1．
所以切线l的方程为y=x-2．
函数 f(x)=alnx-(a+1)x+

1

2

x2(a≥0)．
（II）由题意得，f′（x）=

a

x

-（1+a）+x=

(x-1)(x-a)

x

（x＞0）
由f′（x）=0，得x₁=1，x₂=a
①当0＜a＜1时，令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜a或x＞1；
令f′（x）＜0，x＞0，可得a＜x＜1，
∴函数f（x）的单调增区间是（0，a）和（1，+∞），单调减区间是（a，1）；
②当a=1时，f′（x）=

(x-1)2

x

≥0，当且仅当x=1时，f′（x）=0，
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；
③当a＞1时，令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜1或x＞a；
令f′（x）＜0，x＞0，可得1＜x＜a
∴函数f（x）的单调增区间是（0，1）和（a，+∞），单调减区间是（1，a）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=alnx-(a+1)x+12x2(a≥0)．（Ⅰ）若直线l与曲线y=f（x）相切..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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