已知f（x）=x3-ax2-3x（1）若f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在[1，a]上的最小值和最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=x3-ax2-3x（1）若f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知f（x）=x³-ax²-3x
（1）若f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在[1，a]上的最小值和最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题知，f'（x）=3x²-2ax-3，令f'（x）＞0（x≥2），得a＜

3

2

(x-

1

x

)．
记t(x)=

3

2

(x-

1

x

)，当x≥2时，t（x）是增函数，∴t(x)min=

3

2

×(2-

1

2

)=

9

4

，∴a＜

9

4

，又a=

9

4

时，f′(x)=3x2-

9

2

x-3=3(x-

3

4

)2-

75

16

在[2，+∞）上恒大于等于0，∴a=

9

4

也符合题意，∴a≤

9

4

．
（2）由题意，得f'（3）=0，即27-6a-3=0，∴a=4，∴f（x）=x³-4x²-3x，f'（x）=3x²-8x-3．
令f'（x）=0，得x1=-

1

3

，x2=3，
又∵x∈[1，4]，∴x=-

1

3

舍，故x=3，
当x∈（1，3），f'（x）＜0，∴f（x）在（1，3）上为减函数；
当x∈（3，4），f'（x）＞0，∴f（x）在（3，4）上为增函数，∴x=3时f（x）有极小值．
于是，当x∈[1，4]时，f（x）_min=f（3）=-18，
而f（1）=-6，f（4）=-12，∴f（x）_max=f（1）=-6．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=x3-ax2-3x（1）若f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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