已知函数f（x）=lnx+1-xax，其中a为大于零的常数．（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求a的取值范围；（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx+1-xax，其中a为大于零的常数．（1）若函数f（x）在区..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx+

1-x

ax

，其中a为大于零的常数．
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．

试题来源：聊城二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

f′（x）=

ax-1

ax2

（x＞0），
（1）由已知，得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥

1

x

在[1，+∞）上恒成立，
又∵当x∈[1，+∞）时，

1

x

≤1，
∴a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）；
（2）当a≥1时，f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，这时f（x）在[1，2]上为增函数，
∴f（x）_min=f（1）=0；
当0＜a≤

1

2

，∵f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，这时f（x）在[1，2]上为减函数，
∴f（x）_min=f（2）=ln2-

1

2a

；
当

1

2

＜a＜1时，令f′（x）=0，得x=

1

a

∈（1，2），
又∵对于x∈[1，

1

a

）有f′（x）＜0，对于x∈（

1

a

，2）有f′（x）＞0，
∴f（x）_min=f（

1

a

）=ln

1

a

+1-

1

a

，
综上，f（x）在[1，2]上的最小值为
①当0＜a≤

1

2

时，f（x）_min=ln2-

1

2a

；
②当

1

2

＜a＜1时，f（x）_min=ln

1

a

+1-

1

a

；
③当a≥1时，f（x）_min=0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx+1-xax，其中a为大于零的常数．（1）若函数f（x）在区..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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