已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1（1）设a=2，求f（x）的单调增区间；（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1（1）设a=2，求f（x）的单调增区间；（2）设..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³-3ax²+3x+1
（1）设a=2，求f（x）的单调增区间；
（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x）的定义域是R，f′（x）=3x²-6ax+3，
当a=2时，f′（x）=3x²-12x+3=3（x²-4x+1），令f′（x）＞0，可得x²-4x+1＞0
解得：x＜2-

3

或x＞2+

3

∴f（x）的单调增区间是(-∞，2-

3

)和(2+

3

，+∞)；
（2）∵f′（x）=3x²-6ax+3，而f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程3x²-6ax+3=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜-1）的条件下在区间（2，3）有解．
∴由3x²-6ax+3=0可得a=

1

2

(x+

1

x

)，
令g（x）=

1

2

(x+

1

x

)，求导函数可得g′（x）=

1

2

(1-

1

x2

)
∴g（x）在（2，3）上单调递增，
∴

5

4

＜

1

2

(x+

1

x

)＜

5

3

，
∴

5

4

＜a＜

5

3

，此时满足△＞0，
故a的取值范围是

5

4

＜a＜

5

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1（1）设a=2，求f（x）的单调增区间；（2）设..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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