已知函数f（x）=lnx+ax-a2x2（a≥0）．（1）若x=1是函数y=f（x）的极值点，求a的值；（2）求函数y=f（x）的单调区间．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx+ax-a2x2（a≥0）．（1）若x=1是函数y=f（x）的极值点，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx+ax-a²x²（a≥0）．
（1）若x=1是函数y=f（x）的极值点，求a的值；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数定义域为（0，+∞），f′(x)=

-2a2x2+ax+1

x

因为x=1是函数y=f（x）的极值点，所以f′（1）=1+a-2a²=0，解得a=-

1

2

或a=1，
因为a＞0，所以a=1；
（2）若a=0，f′(x)=

1

x

＞0，
∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
若a≠0，则a＞0，f′(x)=

-2a2x2+ax+1

x

=

(2ax-1)(-ax-1)

x

由f′（x）＞0，结合函数的定义域，可得0＜x＜

1

a

；由f′（x）＜0，结合函数的定义域，可得x＞

1

a

；
∴函数的单调增区间为（0，

1

a

）；单调减区间为（

1

a

，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx+ax-a2x2（a≥0）．（1）若x=1是函数y=f（x）的极值点，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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