函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[-2，2]，表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线的斜率均为-1，有以下命题：①f（x）的解析式是f（x）=x3-4x，x∈[-2，2]；②f（x）的极值点有且只有1个；③f（x）-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[-2，2]，表示的曲线过原点，且在x=±1处..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

函数f（x）=x³+ax²+bx+c，x∈[-2，2]，表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线的斜率均为-1，有以下命题：
①f（x）的解析式是f（x）=x³-4x，x∈[-2，2]；
②f（x）的极值点有且只有1个；
③f（x）的最大值与最小值之和为0；
其中真命题的序号是______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象过原点，可得c=0；
又f′（x）=3x²+2ax+b，且f（x）在x=±1处的切线斜率均为-1，
则有

3+2a+b=-1

3-2a+b=-1

，解得a=0，b=-4．
所以f（x）=x³-4x，f′（x）=3x²-4．
①可见f（x）=x³-4x，因此①正确；
②令f′（x）=0，得x=±

2

3

．因此②不正确；
所以f（x）在[-

2

3

，

2

3

]内递减，
且f（x）的极大值为f（-

2

3

）=

16

3

9

，极小值为f（

2

3

）=-

16

3

9

，两端点处f（-2）=f（2）=0，
所以f（x）的最大值为M=

16

3

9

，最小值为m=-

16

3

9

，则M+m=0，因此③正确．
故答案为：①③．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[-2，2]，表示的曲线过原点，且在x=±1处..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：