函数f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行（1）求函数y=g（x）的解析式；（2）若关于x的不等式x-mg(x)＞x恒成立，-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

函数f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）若关于x的不等式

x-m

g(x)

＞

x

恒成立，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵函数f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，
∴f/(x)=aex，g/(x)=

1

x

∴y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，a），
y=g（x）的图象与坐标轴的交点为（a，0）
由题意得f′（0）=g′（a），即a=

1

a

，
又∵a＞0，
∴a=1，
∴g（x）=lnx
（2）由题意g（x）≠0，
∴x＞0，x≠1
当x∈（1，+∞）时，

x-m

lnx

＞

x

?m＜x-

x

lnx
令φ(x)=x-

x

lnx，
∴φ/(x)=

2

x

-lnx-2

2

x

令h（x）=2

x

-lnx-2，
∴h/(x)=

1

x

(1-

1

x

)
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，
∴h（x）单调递增．
∴h（x）＞h（1）=0
由m＜x-

x

lnx在x∈（1，+∞）上恒成立，得m≤φ（1）=1
当x∈（0，1）时，

x-m

lnx

＞

x

?m＞x-

x

lnx
可得φ/(x)=

h(x)

2

x

＞0，
∴φ（x）单调递增．
由m＞x-

x

lnx=φ(x)在x∈（0，1）上恒成立，
得m≥φ（1）=1，
综上，可知m=1；

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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