发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-03 07:30:00
试题原文 |
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(Ⅰ)由x+1>0,得x>-1. ∴f(x)的定义域为(-1,+∞).…(1分) 因为对x∈(-1,+∞),都有f(x)≥f(1), ∴f(1)是函数f(x)的最小值,故有f′(1)=0.…(2分) f′(x)=2x+
∴2+
经检验,b=-4时,f(x)在(-1,1)上单调减,在(1,+∞)上单调增. f(1)为最小值.故得证. …(4分) (Ⅱ)∵f′(x)=2x+
又函数f(x)在定义域上是单调函数, ∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(_1,+∞)上恒成立.…(6分) 若f′(x)≥0,则2x+
即b≥-2x2-2x=-2(x+
若f′(x)≤0,则2x+
即b≤-2x2-2x=-2(x+
因-2(x+
∴不存在实数b使f′(x)≤0恒成立. 综上所述,实数b的取值范围是[
(Ⅲ)当b=1时,函数f(x)=x2-ln(x+1). 令h(x)=f(x)-x3=-x3+x2-ln(x+1), 则h′(x)=-3x2+2x-
当x∈(0,+∞)时,h′(x)<0, 所以函数h(x)在(0,+∞)上单调递减. 又h(0)=0,∴当x∈[0,+∞)时,恒有h(x)<h(0)=0, 即x2-ln(x+1)<x3恒成立. 故当x∈(0,+∞)时,有f(x)<x3.…(12分) ∵k∈N*,∴
取x=
∴
所以结论成立. …(14分) |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设函数f(x)=x2+bln(x+1).(I)若对定义域内的任意x,都有f(x)≥f(1)..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的单调性与导数的关系”。