设a为实常数，函数f（x）=-x3+ax2-4．（1）若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为π4，求函数f（x）的单调区间；（2）若存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞0，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设a为实常数，函数f（x）=-x3+ax2-4．（1）若函数y=f（x）的图象在点P（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设a为实常数，函数f（x）=-x³+ax²-4．
（1）若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为

π

4

，求函数f（x）的单调区间；
（2）若存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=-3x²+2ax．根据题意f′（1）=tan

π

4

=1，
∴-3+2a=1，即a=2．∴f′（x）=-3x²+4x=-3x(x-

4

3

)．
当f′（x）＞0，得x(x-

4

3

)＜0，即0＜x＜

4

3

；当f′（x）＜0，得x(x-

4

3

)＞0，即x＜0或x＞

4

3

．
∴f′（x）的单调递增区间是(0，

4

3

)，单调递减区间是（-∞，0）∪(

4

3

，+∞)；
（2）f′（x）=-3x(x-

2a

3

)．
①若a≤0，当x＞0时，f′（x）＜0，从而f（x）在（0，+∞）上是减函数，
又f（0）=-4，则当x＞0时，f（x）＜-4．
∴当a≤0时，不存在x₀＞0，使f（x₀）＞0；
②当a＞0，则当0＜x＜

2a

3

时，f′（x）＞0，当x＞

2a

3

时，f′（x）＜0．
从而f（x）在(0，

2a

3

)上单调递增，在(

2a

3

，+∞)上单调递减．
∴当x∈（0，+∞）时，f（x）_max=f(

2a

3

)=-

8a3

27

+

4a3

9

-4=

4a3

27

-4．
据题意，

4a3

27

-4＞0，即a³＞27，∴a＞3．
故a的取值范围是（3，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a为实常数，函数f（x）=-x3+ax2-4．（1）若函数y=f（x）的图象在点P（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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