已知函数f（x）=x2-alnx．（Ⅰ）当x=1时f（x）取得极值，求函数的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，求函数f（x）的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2-alnx．（Ⅰ）当x=1时f（x）取得极值，求函数的单调区间..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-02 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²-alnx．
（Ⅰ）当x=1时f（x）取得极值，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，求函数f（x）的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）f′(x)=2x-

a

x

，
∵f'（1）=0，∴a=2，
∴f(x)=x2-2lnx，f′(x)=2x-

2

x

f'（x）＞0，即x＞1时，函数f（x）=x²-2lnx单调递增；
f'（x）＜0，即0＜x＜1时，函数f（x）=x²-2lnx单调递减．
综上：函数f（x）=x²-2lnx的单调递增区间为（1，+∞）；
函数f（x）=x²-2lnx的单调递减区间为（0，1）
（II）f′(x)=2x-

a

x

=

(2x2-a)

x

当a≤0时，x∈[1，2]，f'（x）＞0，函数递增
∴当x=1时f（x）有最小值，并且最小值为1
当a＞0时，
（1）当0＜a≤2时，函数在[1，2]上递增，所以当x=1时f（x）有最小值，并且最小值为4
（2）当2＜a＜8时，函数在[1，

2a

2

]上递减，在[

2a

2

，2]上递增；
所以当x=

2a

2

时f（x）有最小值，并且最小值为

a-aln

a

2

（3）当8≤a，函数在[1，2]上递减，所以当x=2时f（x）有最小值，并且最小值为（4-aln2）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2-alnx．（Ⅰ）当x=1时f（x）取得极值，求函数的单调区间..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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