设a＞0，函数f(x)=xa2+x2的导函数为f‘（x）．（Ⅰ）求f‘（0），f‘（1）的值，并比较它们的大小；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．-数学试题及答案

1、试题题目：设a＞0，函数f(x)=xa2+x2的导函数为f‘（x）．（Ⅰ）求f‘（0）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-02 07:30:00

试题原文

设a＞0，函数f(x)=

x

a2+x2

的导函数为f'（x）．
（Ⅰ）求f'（0），f'（1）的值，并比较它们的大小；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由于函数f(x)=

x

a2+x2

（a＞0）的导函数为f'（x），
则f′(x)=

(a2+x2)-x×2x

(a2+x2)2

=

a2-x2

(a2+x2)2

=-

(x+a)(x-a)

(a2+x2)2

（1）f'（0）=

1

a2

，f'（1）=

a2-1

(a2+1)2

由于a＞0，a²＜a²+1，则

1

a2

＞

1

a2+1

=

a2+1

(a2+1)2

＞

a2-1

(a2+1)2

，故f'（0）＞f'（1）
（2）令f′（x）=0，则x=-a或x=a
当x变化时f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-a）	-a	（-a，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

所以，当x=a时，函数有极大值，且f（a）=

1

a3

，
当x=-a时，函数有极小值，且f（-a）=-

1

a3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a＞0，函数f(x)=xa2+x2的导函数为f‘（x）．（Ⅰ）求f‘（0）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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