已知函数f(x)=1x+alnx(a≠0，a∈R)（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（II）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=1x+alnx(a≠0，a∈R)（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-02 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

x

+alnx(a≠0，a∈R)
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；
（II）若在区间[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＜0成立，求实数a的取值范围．

试题来源：海淀区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）因为f′(x)=-

1

x2

+

a

x

=

ax-1

x2

，（2分）
当a=1，f′(x)=

x-1

x2

，
令f'（x）=0，得x=1，（3分）
又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

所以x=1时，f（x）的极小值为1．（5分）
f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（6分）
（II）因为f′(x)=-

1

x2

+

a

x

=

ax-1

x2

，且a≠0，
令f'（x）=0，得到x=

1

a

，
若在区间[1，e]上存在一点x₀，使得f（x₀）＜0成立，
其充要条件是f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0即可．（7分）
（1）当x=

1

a

＜0，
即a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，
所以，f（x）在区间[1，e]上单调递减，
故f（x）在区间[1，e]上的最小值为f(e)=

1

e

+alne=

1

e

+a，
由

1

e

+a＜0，得a＜-

1

e

，即a∈(-∞，-

1

e

)（9分）
（2）当x=

1

a

＞0，即a＞0时，
①若e≤

1

a

，则f'（x）≤0对x∈[1，e]成立，
所以f（x）在区间[1，e]上单调递减，
所以，f（x）在区间[1，e]上的最小值为f(e)=

1

e

+alne=

1

e

+a＞0，
显然，f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0不成立（11分）
②若1＜

1

a

＜e，即a＞

1

e

时，则有

x

(1，

1

a

)

1

a

(

1

a

，e)

f'（x）

-

0

+

f（x）

↘

极小值

↗

所以f（x）在区间[1，e]上的最小值为f(

1

a

)=a+aln

1

a

，
由f(

1

a

)=a+aln

1

a

=a(1-lna)＜0，
得1-lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）．（13分）
综上，由（1）（2）可知：a∈(-∞，-

1

e

)∪(e，+∞)符合题意．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=1x+alnx(a≠0，a∈R)（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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