已知函数f（x）=，h（x）=．（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）-h（x），求F（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程㏒4[]=㏒2h（a-x）-㏒2h（4-x）；（Ⅲ）试比较f（100）h（100）-与的大小．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=，h（x）=．（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）-h（x），求F（x）的单调区..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-02 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

，h（x）=

．
（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）-h（x），求F（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程㏒₄[

]=㏒₂h（a-x）-㏒₂h（4-x）；
（Ⅲ）试比较f（100）h（100）-

与

的大小．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由F（x）=f（x）-h（x）=

2

3

x+

1

2

-

x

（x≥0）知，
F'（x）=

4

x

-3

6

x

，令F'（x）=0，得x=

9

16

．
当x∈（0，

9

16

）时，F'（x）＜0；当x∈（

9

16

，=∞）时，F'（x）＞0．
故x∈（0，

9

16

）时，F（x）是减函数；
故F（x）x∈（

9

16

，+∞）时，F（x）是增函数．
F（x）在x=

9

16

处有极小值且F（

9

16

）=

1

8

．

（Ⅱ）原方程可化为log₄（x-1）+log₂h（4-x）=log₂h（a-x），
即

1

2

log₂（x-1）+log₂

4-x

=log₂

a-x

，

x-1＞0

4-x＞0

a-x＞0

(x-1)(4-x)=a-x

1＜x＜4

x＜a

a=-(x-3)2+5

①当1＜a≤4时，原方程有一解x=3-

5-a

；
②当4＜a＜5时，原方程有两解x=3±

5-a

；
③当a=5时，原方程有一解x=3；
④当a≤1或a＞5时，原方程无解．
（Ⅲ）设数列 {a_n}的前n项和为s_n，且s_n=f（n）g（n）-

1

6

从而有a₁=s₁=1．
当2＜k≤100时，a_k=s_k-s_k-1=

4k+3

6

k

-

4k-1

6

k-1

，a_k-

k

=

1

6

[（4k-3）

k

-（4k-1）

k-1

]=

1

6

(4k-3) 2 k-(4k-1)2 (k-1)

(4k-3)

k

+(4k-1)

k-1

=

1

6

1

(4k-3)

k

+(4k-1)

k-1

＞0．
即对任意的2＜k≤100，都有a_k＞

k

．
又因为a₁=s₁=1，
所以a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀＞

1

+

2

+

3

+…+

100

=h（1）+h（2）+…+h（100）
故f（100）h（100）-

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=，h（x）=．（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）-h（x），求F（x）的单调区..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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