已知函数f（x）=ex+ax，g（x）=ax-lnx，其中a≤0．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）若存在区间M，使f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ex+ax，g（x）=ax-lnx，其中a≤0．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-02 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=e^x+ax，g（x）=ax-lnx，其中a≤0．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）若存在区间M，使f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性，求a的取值范围．

试题来源：西城区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f（x）的定义域为R，且 f'（x）=e^x+a．
①当a=0时，f（x）=e^x，故f（x）在R上单调递增．
从而f（x）没有极大值，也没有极小值．
②当a＜0时，令f'（x）=0，得x=ln（-a）．f（x）和f'（x）的情况如下：

x	（-∞，ln（-a））	ln（-a）	（ln（-a），+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘		↗

故f（x）的单调减区间为（-∞，ln（-a））；单调增区间为（ln（-a），+∞）．
从而f（x）的极小值为f（ln（-a））=-a+aln（-a）；没有极大值．
（Ⅱ）g（x）的定义域为（0，+∞），且 g′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

．
③当a=0时，f（x）在R上单调递增，g（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意．
④当a＜0时，g'（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减．
当-1≤a＜0时，ln（-a）≤0，此时f（x）在（ln（-a），+∞）上单调递增，由于g（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意．
当a＜-1时，ln（-a）＞0，此时f（x）在（-∞，ln（-a））上单调递减，由于f（x）在（0，+∞）上单调递减，符合题意．
综上，a的取值范围是（-∞，-1）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ex+ax，g（x）=ax-lnx，其中a≤0．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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