一元三次函数f（x）的三次项系数为a3，f′（x）+9x＜0的解集为（1，2），（1）若f′（x）+7a=0，求f′（x）的解析式；（2）若f（x）在R上单调增，求a的范围．-数学试题及答案

1、试题题目：一元三次函数f（x）的三次项系数为a3，f′（x）+9x＜0的解集为（1，2），..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

一元三次函数f（x）的三次项系数为

a

3

，f′（x）+9x＜0的解集为（1，2），
（1）若f′（x）+7a=0，求f′（x）的解析式；
（2）若f（x）在R上单调增，求a的范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解∵一元三次函数f（x）的三次项系数为

a

3

，
设f（x）=

a

3

x³+bx²+cx+d，∴f'（x）=ax²+2bx+c
∵f′（x）+9x=ax²+2bx+c+9x＜0的解集为（1，2），
∴f′（x）+9x=ax²+2bx+c+9x=a（x-1）（x-2）＜0
b=-

9+3a

2

，c=2a（a＞0）
（1）由上f'（x）+7a=ax²-（9+3a）x+9a=0成立
∴△=（9+3a）²-36a²≥0
∴-1≤a≤3又因为a＞0∴0＜a≤3
∴f′（x）=ax²-（9+3a）x+2a（0＜a≤3）
（2）∵f（x）在R上单调增，
∴f'（x）=ax²-（9+3a）x+2a≥0在R上恒成立
∴△=（9+3a）²-8a²=a²+54a+81≤0
∴-27-18

2

≤a≤-27+18

2

又因为a＞0∴0＜a≤-27+18

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“一元三次函数f（x）的三次项系数为a3，f′（x）+9x＜0的解集为（1，2），..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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