已知函数f(x)=a(x2+1)+x-1x-lnx(a∈R)．（1）当a＜12时，讨论f（x）的单调性；（2）设g（x）=x2-2bx+4，当a=13时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）+g（x2）≤0，求实数b的取值范-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=a(x2+1)+x-1x-lnx(a∈R)．（1）当a＜12时，讨论f（x）的单..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

a(x2+1)+x-1

x

-lnx(a∈R)．
（1）当a＜

1

2

时，讨论f（x）的单调性；
（2）设g（x）=x²-2bx+4，当a=

1

3

时，若对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）+g（x₂）≤0，求实数b的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′(x)=a-

a-1

x2

-

1

x

=

(ax+a-1)(x-1)

x2

．（2分）
①当

1-a

a

＞1时，即0＜a＜

1

2

时，此时f（x）的单调性如下：

x

（0，1）

1

（1，

1-a

a

）

1-a

a

（

1-a

a

，+∞）

f′（x）

+

0

_

0

+

f（x）

增

减

增

（4分）
②当a=0时，f′(x)=

1-x

x2

，当0＜x＜1时f（x）递增；
当x＞1时，f（x）递减；（5分）
③当a＜0时，

1-a

a

＜0，当0＜x＜1时f（x）递增；
当x＞1时，f（x）递减；（6分）
综上，当a≤0时，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数；
当0＜a＜

1

2

时，f（x）在（0，1），（

1-a

a

，+∞）上是增函数，
在（1，

1-a

a

）上是减函数．（7分）
（2）由（1）知，当a=

1

3

时，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，2）上是减函数．
于是x₁∈（0，2）时，f(x1)∈(-∞，

2

3

]．（8分）
从而存在x₂∈[1，2]，
使g（x₂）=

x

22

-2bx2+4≤[-f(x1)]min=-

2

3

?[g(x)]min≤-

2

3

，x∈[1，2]（10分）
考察g（x）=x²-2bx+4=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]的最小值．
①当b≤1时，g（x）在[1，2]上递增，[g（x）]_min=g(1)=5-2b≤-

2

3

，b≥

17

6

（舍去）..（11分）
②当b≥2时，，g（x）在[1，2]上递减，[g(x)]min=g(2)=8-4b≤-

2

3

，b≥

13

6

∴b≥

13

6

..（12分）
③当1＜b＜2时，g(x)min=g(b)=4-b2≤-

2

3

，无解．（13分）
综上b≥

13

6

（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=a(x2+1)+x-1x-lnx(a∈R)．（1）当a＜12时，讨论f（x）的单..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：