已知函数f(x)=12mx2-2x+1+ln(x+1)(m≥1)（1）若曲线C：y=f（x）在点P（0，1）处的切线L与C有且只有一个公共点，求m的值；（2）求证：函数f（x）存在单调减区间[a，b]，令t=b-a，求t的取值-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=12mx2-2x+1+ln(x+1)(m≥1)（1）若曲线C：y=f（x）在点P（0..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

2

mx2-2x+1+ln(x+1)(m≥1)
（1）若曲线C：y=f（x）在点P（0，1）处的切线L与C有且只有一个公共点，求m的值；
（2）求证：函数f（x）存在单调减区间[a，b]，令t=b-a，求t的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）易知f（x）定义域（-1，+∞）f/(x)=mx-2+

1

x+1

，f/(0)=-1，∴k₂=-1∴切线L：y=-x+1
∵切线L与C有且只有一个公共点，∴

1

2

mx2-x+ln(x+1)=0有且只有一个实数解，显然x=0时成立．
令g(x)=

1

2

mx2-x+ln(x+1)，则g/(x)=mx-1+

1

x+1

=

mx[x-(

1

m

-1)]

x+1

①当m=1时，g′（x）≥0，函数在（-1，+∞）上单调增，x=0是方程唯一实数解；
②当m＞1时由g′（x）=0得x1=0，x2=

1

m

-1∈(-1，0），从而有x=x₂是极大值点且g（x₂）＞g（0）=0，又当x→-1时，g（x）→-∝因此g（x）=0在（-1，x₂）内也有一解，矛盾
综上知，m=1．
（2）∵f/(x)=

mx2+(m-2)x-1

x+1

(x＞-1)∴f′（x）＜0?mx²+（m-2）x-1＜0（x＞-1）
令h（x）=mx²+（m-2）x-1＜0（x＞-1），∴h（x）=0在（-1，+∞）有两个不等实数解a，b，即h（x）=mx²+（m-2）x-1＜0（x＞-1）得解集为（a，b），故存在单调减区间[a，b]，
则t=b-a=

1+

4

m2

，
∵m≥1，∴1＜

1+

4

m2

≤

5

，
∴t∈(1，

5

]

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=12mx2-2x+1+ln(x+1)(m≥1)（1）若曲线C：y=f（x）在点P（0..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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