已知平面向量a=（3，-1），b=（12，32）．（1）证明：a⊥b；（2）若存在实数k和t，使得x=a+（t2-3）b，y=-ka+tb，且x⊥y，试求函数关系式k=f（t）；（3）根据（2）的结论，确定k=f（t）的单调区间．-数学试题及答案

1、试题题目：已知平面向量a=（3，-1），b=（12，32）．（1）证明：a⊥b；（2）若存在实数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知平面向量

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

）．
（1）证明：

a

⊥

b

；
（2）若存在实数k和t，使得x=

a

+（t²-3）

b

，y=-k

a

+t

b

，且x⊥y，试求函数关系式k=f（t）；
（3）根据（2）的结论，确定k=f（t）的单调区间．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：∵

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

）
∴

3

×

1

2

+（-1）×

3

2

=0，∴

a

⊥

b

…（4分）
（2）由题意知

x

=（

t2+2

3

-3

2

，

3

t2-3

3

-2

2

），

y

=（

1

2

t-

3

k，

3

2

t+k）
又

x

⊥

y

故

x

?

y

=

t2+2

3

-3

2

×（

1

2

t-

3

k）+

3

t2-3

3

-2

2

×（

3

2

t+k）=0
整理得：t²-3t-4k=0即k=

1

4

t³-

3

4

t …（4分）
（3）由（2）知：k=f（t）=

1

4

t³-

3

4

t
∴k′=f′（t）=

3

4

t²-

3

4

令k′＜0得-1＜t＜1；t＜-1或t＞1
故k=f（t）单调递减区间是（-1，1），单调递增区间是（-∞，-1）∪（1，+∞）．…（4分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知平面向量a=（3，-1），b=（12，32）．（1）证明：a⊥b；（2）若存在实数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：