已知函f（x）=x2-8lnx，g（x）=-x2+14x（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）与g（x）在区间（a，a+1）上均为增函数，求a的取值范围；（3）若方程f（x）=g（x）+m有唯一解-数学试题及答案

1、试题题目：已知函f（x）=x2-8lnx，g（x）=-x2+14x（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函f（x）=x²-8lnx，g（x）=-x²+14x
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）与g（x）在区间（a，a+1）上均为增函数，求a的取值范围；
（3）若方程f（x）=g（x）+m有唯一解，试求实数m的值．

试题来源：烟台一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为f′（x）=2x-

8

x

，所以切线的斜率k=f′（x）=-6
又f（1）=1，故所求切线方程为y-1=-6（x-1）即y=-6x+7．
（2）f′(x)=2x-

8

x

=

2(x+2)(x-2)

x

（x＞0）
当0＜x＜2时，f'（x）＜0，当x＞2时，f'（x）＞0，
要使f（x）在（a，a+1）上递增，必须a≥2g（x）=-x²+14x=-（x-7）²+49
如使g（x）在（a，a+1）上递增，必须a+1≤7，即a≤6
由上得出，当2≤a≤6时f（x），g（x）在（a，a+1）上均为增函数
（3）方程f（x）=g（x）+m有唯一解 ?

y=m

y=2x2-8lnx-14x

有唯一解
设h（x）=2x²-8lnx-14x
h′(x)=4x-

8

x

-14=

2

x

(2x+1)(x-4)（x＞0）h'（x），h（x）随x变化如下表

x	（0，4）	4	（4，+∞）
h'（x）	-	0	+
h（x）	↘	极小值-24-16ln2	↗

由于在（0，+∞）上，h（x）只有一个极小值，
∴h（x）的最小值为-24-16ln2，
当m=-24-16ln2时，方程f（x）=g（x）+m有唯一解．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函f（x）=x2-8lnx，g（x）=-x2+14x（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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