已知函数f（x）=lnx+1-xax，其中a为大于零的常数．（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）内不是单调函数，求a的取值范围；（2）求函数f（x）在区间[e，e2]上的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx+1-xax，其中a为大于零的常数．（1）若函数f（x）在区..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx+

1-x

ax

，其中a为大于零的常数．
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）内不是单调函数，求a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[e，e²]上的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

f′（x）=

ax-1

ax2

（x＞0）…（2分）
（1）由已知，得f′（x）在[1，+∞）上有解，即a=

1

x

在（1，+∞）上有解，
又∵当x∈（1，+∞）时，

1

x

＜1，所以a＜1．又a＞0，所以a的取值范围是（0，1）…（6分）
（2）①当a≥

1

e

时，因为f′（x）＞0在（e，e²）上恒成立，这时f（x）在[e，e²]上为增函数，
所以当x=e时，f（x）_min=f（e）=1+

1-e

ae

…（8分）
②当0＜a≤

1

e2

时，因为f′（x）＜0在（e，e²）上恒成立，这时f（x）在[e，e²]上为减函数，
所以，当x=e²时，f（x）_min=f（e²）=2+

1-e2

ae2

，…（10分）
③当

1

e2

＜a＜

1

e

时，令f′（x）=0得，x=

1

a

∈（e，e²），
又因为对于x∈（e，

1

a

）有f′（x）＜0，
对于x∈（

1

a

，e²）有f′（x）＞0，
所以当x=

1

a

时，f（x）_min=f（

1

a

）=ln

1

a

+1-

1

a

…（14分）
综上，f（x）在[e，e²]上的最小值为
f（x）_min=

1+

1-e

ae

，当a≥

1

e

时

ln

1

a

+1-

1

a

，当

1

e2

＜a＜

1

e

时

2+

1-e2

ae2

，当0＜a＜

1

e2

时

…（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx+1-xax，其中a为大于零的常数．（1）若函数f（x）在区..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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