已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．（1）若函数y=f（x）在x=-2时有极值，求f（x）表达式；（2）若函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，求实数-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．
（1）若函数y=f（x）在x=-2时有极值，求f（x）表达式；
（2）若函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，求实数b的取值范围．

试题来源：桂林模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=3x²+2ax+b
∵曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．
∴

f′(1)=3

f(1)=4

即

3+2a+b=3

1+a+b+c=4

∵函数y=f（x）在x=-2时有极值
∴f′（-2）=0即-4a+b=-12
∴

3+2a+b=3

1+a+b+c=4

-4a+b=-12

解得a=2，b=-4，c=5
∴f（x）=x³+2x²-4x+5
（2）由（1）知，2a+b=0
∴f′（x）=3x²-bx+b
∵函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增
∴f′（x）≥0即3x²-bx+b≥0在[-2，1]上恒成立
①当x=

b

6

≥1时f′（x）的最小值为f′（1）=1-b+b≥0∴b≥6
②当x=

b

6

≤-2时，f′(x)的最小值为f′（-2）=12+2b+b≥0∴b∈?
③-2＜

b

6

＜1时，f′（x）的最小值为

12b-b2

12

≥0∴0≤b≤6
总之b的取值范围是b≥0

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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