已知函数f(x)=axx2+b在x=1处取得极值2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（m，2m+1）上是单调函数，求实数m的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=axx2+b在x=1处取得极值2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

ax

x2+b

在x=1处取得极值2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（m，2m+1）上是单调函数，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

求导，f′(x)=

a(x2+b)-ax?2x

(x2+b)2

=

a(-x2+b)

(x2+b)2

，
又f（x）在x=1处取得极值2，
所以

f′(1)=0

f(1)=2

即

a(b-1)

(b+1)2

=0

a

b+1

=2

，
解得

a=4

b=1

所以f(x)=

4x

x2+1

．
（Ⅱ）因为f′(x)=

-4(x+1)(x-1)

(x2+1)2

，
又f（x）的定义域是R，所以由f'（x）＞0，
得-1＜x＜1．所以f（x）在[-1，1]上单调递增，
在（-∞，-1]和[1，+∞）上单调递减．
（1）当f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增，
则

m≥-1

2m+1≤1

2m+1＞m

解得-1＜m≤0；
（2）当f（x）在区间（m，2m+1）上单调递减，
则

2m+1≤-1

2m+1＞m

或

m≥1

2m+1＞m

解得m≥1．
综上，实数m的取值范围是-1＜m≤0或m≥1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=axx2+b在x=1处取得极值2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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