已知函数f（x）=13x3+12ax2+bx+1（x∈R，a，b为实数）有极值，且x=-1处的切线与直线x-y+1=0平行．（1）求实数a的取值范围．（2）是否存在实数a，使得f′（x）=x的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=13x3+12ax2+bx+1（x∈R，a，b为实数）有极值，且x=-1处..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+bx+1（x∈R，a，b为实数）有极值，且x=-1处的切线与直线x-y+1=0平行．
（1）求实数a的取值范围．
（2）是否存在实数a，使得f′（x）=x的两个根x₁，x₂满足0＜x₁＜x₂＜1，若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

试题来源：湖北模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f'（x）=x²+ax+b（1分）
因为f（x）有极值，∴△=a²-4b＞0（2分）
又在x=-1处的切线与直线x-y+1=0平行，∴f'（-1）=1-a+b=1①②③④
∴b=a代入（*）式得，a²-4b＞0，∴a＞4或a＜0（6分）
（2）假若存在实数a，使f'（x）=x的两个根x₁、x₂满足0＜x₁＜x₂＜1，
即x²+（a-1）x+a=0的两个根x₁、x₂满足0＜x₁＜x₂＜1，
令g（x）=x²+（a-1）x+a，则有：

△=(a-1)2-4b＞0①

0＜

1-a

2

＜1②

g(0)=a＞0③

g(1)=2a＞0④

解之得
0＜a＜3∴存在实数a，且0＜a＜3使是f'（x）=x的两个根满足0＜x₁＜x₂＜1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=13x3+12ax2+bx+1（x∈R，a，b为实数）有极值，且x=-1处..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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