已知函数f（x）=lnx-ax+1-ax-1（a∈R），当a≤12时，讨论f（x）的单调性．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx-ax+1-ax-1（a∈R），当a≤12时，讨论f（x）的单调性．

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R），当a≤

1

2

时，讨论f（x）的单调性．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

f′(x)=

1

x

-a-

1-a

x2

=-

ax2-x+1-a

x2

=-

[ax+(a-1)](x-1)

x2

（x＞0），
令g（x）=ax²-x+1-a，
①当a=0时，g（x）=-x+1，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
②当0＜a＜

1

2

时，由f′（x）=0，x₁=1，x₂=

1

a

-1．此时

1

a

-1＞1＞0，
列表如下：

魔方格

由表格可知：函数f（x）在区间（0，1）和(

1

a

-1，+∞)上单调递减，在区间(1，

1

a

-1)上单调递增；
③当a=

1

2

时，x₁=x₂，此时f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；
④当a＜0时，由于

1

a

-1＜0，则函数f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．
综上：当a≤0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．
当a=

1

2

时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．
当0＜a＜

1

2

时，函数f（x）在区间（0，1）和(

1

a

-1，+∞)上单调递减，在区间(1，

1

a

-1)上单调递增．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx-ax+1-ax-1（a∈R），当a≤12时，讨论f（x）的单调性．”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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