已知f（x）=23x3-2ax2-3x（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在区间（-1，1）上为减函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若y=f（x）的极大值点与极小值点之差为2a-3，试求实数a的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=23x3-2ax2-3x（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在区间（-1，1）上为减函数，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知f（x）=

2

3

x3-2ax2-3x（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在区间（-1，1）上为减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若y=f（x）的极大值点与极小值点之差为2a-3，试求实数a的值．

试题来源：青岛一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵f(x)=

2

3

x3-2ax2-3x∴f′(x)=2x2-4ax-3…（2分）
因为f（x）在区间（-1，1）上为减函数，所以f'（x）≤0在区间（-1，1）上恒成立；
∵f'（x）是开口向上的抛物线，故只须

f′(-1)≤0

f′(1)≤0

?-

1

4

≤a≤

1

4

…（5分）
（II）f(x)=

2

3

x3-2ax2-3x∴f′(x)=2x2-4ax-3；

由f′(x)=2x2-4ax-3=0

?x1=a-

1

2

4a2+6

，x2=a+

1

2

4a2+6

，

且x₁＜x₂…（7分）
于是f'（x）=2x²-4ax-3=2（x-x₁）（x-x₂）
当x∈（-∞，x₁）时，f'（x）＞0，∴f（x）为增函数；
当x∈（x₁，x₂）时，f'（x）＜0，∴f（x）为减函数；
当x∈（x₂，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）为增函数；…（10分）
所以x₁为极大值点，x₂为极小值点，
故x1-x2=(a-

1

2

4a2+6

)-(a+

1

2

4a2+6

)=-

4a2+6

=2a-3?a=

1

4

…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=23x3-2ax2-3x（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在区间（-1，1）上为减函数，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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