已知函数f（x）=alnx+x2，（a为常数）（1）若a=-2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）若存在x∈[1，e]，使f（x）≤（a+2）x，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=alnx+x2，（a为常数）（1）若a=-2，求证：f（x）在（1，+∞）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=alnx+x²，（a为常数）
（1）若a=-2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（2）若存在x∈[1，e]，使f（x）≤（a+2）x，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）a=-2，f（x）=-2lnx+x²f′(x)=-

2

x

+2x=

2(x2-1)

x

，∵当x＞1时，x²-1＞0，∴f'（x）＞0
故f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（2）令g（x）=f（x）-（a+2）x，
若存在x∈[1，e]使f（x）≤（a+2）x等价于：当x∈[1，e]时，g（x）_min≤0g′(x)=

a

x

+2x-(a+2)=

2x2-(a+2)x+a

x

=

(x-1)(2x-a)

x

，x∈[1，e]
由g'（x）=0解得x1=1，x2=

a

2

（i）当

a

2

≤1时，g'（x）＞0，g（x）在[1，e]上单调增，g（x）_min=g（1）=1-（a+2）≤0，∴-1≤a≤2
（ii）当1＜

a

2

＜e时，

x

(1，

a

2

)

a

2

(

a

2

，e)

f'（x）

-

0

+

f（x）

↘

极小值

↗

∴g(x)min=g(

a

2

)=aln

a

2

-

a2

4

-a，∵0＜ln

a

2

＜1∴aln

a

2

-a＜0
∴2＜a＜2e时，g（x）≤0恒成立．
（iii）当

a

2

≥e时，g'（x）＜0，g（x）在[1，e]上单调减g（x）_min=g（e）=a+e²-（a+2）e≤0，∴a≥

e2-2e

e-1

又

e2-2e

e-1

-2e=

-e2

e-1

＜0，∴a≥2e
综上可知，当a≥-1时，存在x∈[1，e]使f（x）≤（a+2）x．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=alnx+x2，（a为常数）（1）若a=-2，求证：f（x）在（1，+∞）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：