如图，已知曲线C1：y=x3（x≥0）与曲线C2：y=-2x3+3x（x≥0）交于O，A，直线x=t（0＜t＜1）与曲线C1，C2分别交于B，D．（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f（t）；（Ⅱ）讨论f（t）的单调-数学试题及答案

1、试题题目：如图，已知曲线C1：y=x3（x≥0）与曲线C2：y=-2x3+3x（x≥0）交于O，A，直..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

如图，已知曲线C₁：y=x³（x≥0）与曲线C₂：y=-2x³+3x（x≥0）交于O，A，直线x=t（0＜t＜1）与曲线C₁，C₂分别交于B，D．
（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f（t）；
（Ⅱ）讨论f（t）的单调性，并求f（t）的最大值．

试题来源：湖南试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由

y=x3

y=-2x3+3x

得交点O、A的坐标分别是（0，0），（1，1）.f(t)=S△ABO+S△OBD=

1

2

|BD|?|1-0|=

1

2

|BD|=

1

2

(-3t3+3t)，
即f(t)=-

3

2

(t3-t)，(0＜t＜1)．
（Ⅱ）f′(t)=-

9

2

t2+

3

2

．令f'（t）=0解得t=

3

．
当0＜t＜

3

时，f′(t)＞0，从而f（t）在区间(0，

3

)上是增函数；
当

3

＜t＜1时，f′(t)＜0，从而f（t）在区间(

3

，1)上是减函数．
所以当t=

3

时，f（t）有最大值为f(

3

)=

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，已知曲线C1：y=x3（x≥0）与曲线C2：y=-2x3+3x（x≥0）交于O，A，直..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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