已知函数f(x)=-2a2lnx+12x2+ax（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）在区间[1，e]的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=-2a2lnx+12x2+ax（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=-2a2lnx+

1

2

x2+ax（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）在区间[1，e]的最小值．

试题来源：延庆县一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）
（Ⅰ）f′(x)=

x2+ax-2a2

x

=

(x+2a)(x-a)

x

，…（4分）
（1）当a=0时，f'（x）=x＞0，所以f（x）在定义域为（0，+∞）上单调递增； …（5分）

魔方格

（2）当a＞0时，令f'（x）=0，得x₁=-2a（舍去），x₂=a，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：
此时，f（x）在区间（0，a）单调递减，
在区间（a，+∞）上单调递增； …（7分）

魔方格

（3）当a＜0时，令f'（x）=0，得x₁=-2a，x₂=a（舍去），
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：
此时，f（x）在区间（0，-2a）单调递减，
在区间（-2a，+∞）上单调递增．…（9分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当a＜0时，f（x）在区间（0，-2a）单调递减，在区间（-2a，+∞）上单调递增．…（10分）
（1）当-2a≥e，即a≤-

e

2

时，f（x）在区间[1，e]单调递减，
所以，[f(x)]min=f(e)=-2a2+ea+

1

2

e2； …（11分）
（2）当1＜-2a＜e，即-

e

2

＜a＜-

1

2

时，f（x）在区间（1，-2a）单调递减，
在区间（-2a，e）单调递增，所以[f(x)]min=f(-2a)=-2a2ln(-2a)，…（12分）
（3）当-2a≤1，即-

1

2

≤a＜0时，f（x）在区间[1，e]单调递增，
所以[f(x)]min=f(1)=a+

1

2

．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=-2a2lnx+12x2+ax（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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