已知函数f(x)=ax2+lnx，f1(x)=16x2+43x+59lnx，f2(x)=12x2+2ax，a∈R（1）求证：函数f（x）在点（e，f（e））处的切线横过定点，并求出定点的坐标；（2）若f（x）＜f2（x）在区间（1，+∞）上恒成-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=ax2+lnx，f1(x)=16x2+43x+59lnx，f2(x)=12x2+2ax，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=ax2+lnx，f1(x)=

1

6

x2+

4

3

x+

5

9

lnx，f2(x)=

1

2

x2+2ax，a∈R
（1）求证：函数f（x）在点（e，f（e））处的切线横过定点，并求出定点的坐标；
（2）若f（x）＜f₂（x）在区间（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）当a=

2

3

时，求证：在区间（1，+∞）上，满足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个．

试题来源：江苏二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为f′(x)=2ax+

1

x

，所以f（x）在点（e，f（e））处的切线的斜率为k=2ae+

1

e

，
所以f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=(2ae+

1

e

)(x-e)+ae2+1，
整理得y-

1

2

=(2ae+

1

e

)(x-

e

2

)，所以切线恒过定点(

e

2

，

1

2

)．
（2）令p(x)=f(x)-f2(x)=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，
因为p′(x)=(2a-1)x-2a+

1

x

=

(2a-1)x2-2ax+1

x

=

(x-1)[(2a-1)x-1]

x

（*）
令p'（x）=0，得极值点x₁=1，x2=

1

2a-1

，
①当

1

2

＜a＜1时，有x₂＞x₁=1，即

1

2

＜a＜1时，在（x₂，+∞）上有p'（x）＞0，
此时p（x）在区间（x₂，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x₂），+∞），不合题意；
②当a≥1时，有x₂＜x₁=1，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；
③当a≤

1

2

时，有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p'（x）＜0，
从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足p(1)=-a-

1

2

≤0?a≥-

1

2

，
所以-

1

2

≤a≤

1

2

．
综上可知a的范围是[-

1

2

，

1

2

]．
（3）当a=

2

3

时，f1(x)=

1

6

x2+

4

3

x+

5

9

lnx，f2(x)=

1

2

x2+

4

3

x
记y=f2(x)-f1(x)=

1

3

x2-

5

9

lnx，x∈(1，+∞)．
因为y′=

2x

3

-

5

9x

=

6x2-5

9x

＞0，所以y=f₂（x）-f₁（x）在（1，+∞）上为增函数，
所以f2(x)-f1(x)＞f2(1)-f1(1)=

1

3

，设R(x)=f1(x)+

1

3

λ，(0＜λ＜1)，则f₁（x）＜R（x）＜f₂（x），
所以在区间（1，+∞）上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=ax2+lnx，f1(x)=16x2+43x+59lnx，f2(x)=12x2+2ax，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：