设函数f（x）=（1+x）2+ln（1+x）2．（1）求f（x）的单调区间；（2）若当x∈[1e-1，e-1]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上恰好有两个-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=（1+x）2+ln（1+x）2．（1）求f（x）的单调区间；（2）若当x∈[1e..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=（1+x）²+ln（1+x）²．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[

1

e

-1，e-1]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=x²+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围．

试题来源：宝坻区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞），
因为f′(x)=2[(x+1)-

1

x+1

]=

2x(x+2)

x+1

，
由f′（x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0，由f′（x）＜0得x＜-2或-1＜x＜0．
∴函数的递增区间是（-2，-1），（0，+∞），递减区间是（-∞，-2），（-1，0）．
（2）由f′（x）=

2x(x+2)

x+1

=0得x=0或x=-2．由（1）知，f（x）在[

1

e

-1，0]上递减，在[0，e-1]上递增．
又f（

1

e

-1）=

1

e2

+2，f（e-1）=e²-2，
∴e2-2-

1

e2

-2=

(e2-2)2-5

e2

＞0
∴e²-2＞

1

e2

+2．所以x∈[

1

e

-1，e-1]时，[f（x）]_max=e²-2．故m＞e²-2时，不等式f（x）＜m恒成立．
（3）方程f（x）=x²+x+a，即x-a+1-ln（1+x）²=0，记g（x）=x-a+1-ln（1+x）²．
所以g′（x）=1-

2

1+x

=

x-1

x+1

．
由g′（x）＞0，得x＜-1或x＞1，由g′（x）＜0，得-1＜x＜1．
所以g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增，
为使f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一个实根，于是有

g(0)≥0

g(1)＜0

g(2)≥0

，∴

-a+1≥0

1-a+1-2ln2＜0

2-a+1-2ln3≥0

，
∴2-2ln2＜a≤3-2ln3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=（1+x）2+ln（1+x）2．（1）求f（x）的单调区间；（2）若当x∈[1e..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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