已知函数f（x）=x3+ax2+b（a∈R，b∈R）（Ⅰ）若a＞0，且f（x）的极大值为5，极小值1，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在（-∞，-12）上是增函数，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+ax2+b（a∈R，b∈R）（Ⅰ）若a＞0，且f（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+ax²+b（a∈R，b∈R）
（Ⅰ）若 a＞0，且f（x）的极大值为5，极小值1，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，-

1

2

）上是增函数，求a的取值范围．

试题来源：威海一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵f（x）=x³+ax²+b，所以f'（x）=3x²+2ax，由f'（x）=3x²+2ax=0，解得x=0或x=-

2a

3

，
因为 a＞0，所以x=-

2a

3

＜0，
当f'（x）＞0时，解得x＜-

2a

3

或x＞0，此时函数单调递增．
当f'（x）0时，解得-

2a

3

＜x＜0，此时函数单调递减．
所以当x=-

2a

3

时，函数取得极大值，当x=0时，函数取得极小值．
即f(-

2a

3

)=-(-

2a

3

)3+a(-

2a

3

)2+b=5，f（0）=b=1，
解得a=3，b=1．
∴所求的函数解析式是f（x）=-x³+3x²+1．…（6分）
（II）由上问知当x=0或x=-

2a

3

时，f'（x）=0．
①当a＞0时，x=-

2a

3

＜0．函数f（x）在（-∞，-

2a

3

）和（0，+∞）上是单调递增函数，在（-

2a

3

，0）上是单调递减函数．
∴若f（x）在（-∞，-

1

2

）上是增函数，则必有-

1

2

≤-

2a

3

，解得0＜a≤

3

4

．
②当a＜0时，-

2a

3

＞0．函数f（x）在（-∞，0）和（-

2a

3

，+∞）上是单调递增函数，
在（0，-

2a

3

）上是单调递减函数．显然满足f（x）在（-∞，-

1

2

）上是增函数．
③当a=0时，-

2a

3

=0．函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调递增函数，
也满足f（x）在（-∞，-

1

2

）上是增函数．
∴综合上述三种情况，所求a的取值范围为(-∞，

3

4

]．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+ax2+b（a∈R，b∈R）（Ⅰ）若a＞0，且f（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：