已知函数f(x)=13x3+ax2-bx（a，b∈R）（1）若y=f（x）图象上的点(1，-113)处的切线斜率为-4，求y=f（x）的极大值；（2）若y=f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数，求a+b的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=13x3+ax2-bx（a，b∈R）（1）若y=f（x）图象上的点(1，-11..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

3

x3+ax2-bx（a，b∈R）
（1）若y=f（x）图象上的点(1，-

11

3

)处的切线斜率为-4，求y=f（x）的极大值；
（2）若y=f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数，求a+b的最小值．

试题来源：烟台一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f'（x）=x²+2ax-b，
∴由题意可知：f'（1）=-4且f(1)=-

11

3

，

1+2a-b=-4

1

3

+a-b=-

11

3

解得

a=-1

b=3

（3分）
∴f(x)=

1

3

x3-x2-3x
f'（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3）
令f'（x）=0，得x₁=-1，x₂=3
由此可知：

魔方格

∴当x=-1时，f（x）取极大值

5

3

．（6分）
（2）∵y=f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数，
∴f'（x）=x²+2ax-b≤0在区间[-1，2]上恒成立．
根据二次函数图象可知f'（-1）≤0且f'（2）≤0，

魔方格

即：

1-2a-b≤0

4+4a-b≤0

也即

2a+b-1≤0

4a-b+4≤0

（9分）
作出不等式组表示的平面区域如图：

魔方格

当直线z=a+b经过交点P(-

1

2

，2)时，z=a+b取得最小值z=-

1

2

+2=

3

2

，
∴z=a+b取得最小值为

3

2

（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=13x3+ax2-bx（a，b∈R）（1）若y=f（x）图象上的点(1，-11..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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