已知函数f(x)=alnx-(1+a)x+12x2，a∈R（1）当0＜a＜1时，求函数f（x）的单调区间；（2）已知f（x）≥0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=alnx-(1+a)x+12x2，a∈R（1）当0＜a＜1时，求函数f（x）的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=alnx-(1+a)x+

1

2

x2，a∈R
（1）当0＜a＜1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）已知f（x）≥0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)=

a

x

+x-(1+a)=

x2-(1+a)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

，
当0＜a＜1时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

所以函数f（x）的单调递增区间是（0，a），（1，+∞），单调递减区间是（a，1）；
（2）由于f(1)=-

1

2

-a，显然a＞0时，f（1）＜0，此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的；
当a≤0时，易得函数f（x）在区间（0，+∞）的极小值、也是最小值即是f(1)=-

1

2

-a，此时只要f（1）≥0即可，解得a≤-

1

2

，
∴实数a的取值范围是（-∞，-

1

2

）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=alnx-(1+a)x+12x2，a∈R（1）当0＜a＜1时，求函数f（x）的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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