已知函数f（x）=lnx-ax，g（x）=f（x）+f‘（x），其中a是正实数．（1）若当1≤x≤e时，函数f（x）有最大值-4，求函数f（x）的表达式；（2）求a的取值范围，使得函数g（x）在区间（0，+∞）上是单调函-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx-ax，g（x）=f（x）+f‘（x），其中a是正实数．（1）若当..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx-ax，g（x）=f（x）+f'（x），其中a是正实数．
（1）若当1≤x≤e时，函数f（x）有最大值-4，求函数f（x）的表达式；
（2）求a的取值范围，使得函数g（x）在区间（0，+∞）上是单调函数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′(x)=

1

x

-a，由

f′(x)＞0

x＞0

得0＜x＜

1

a

∴f(x)在(0，

1

a

]上单调递增，在[

1

a

，+∞)单调递减，（3分）
若x∈（0，+∞），则当x=

1

a

时，f（x）取得最大值．
由条件1≤x≤e，所以
①当1≤

1

a

≤e，即

1

e

≤a≤1时，fmax(x)=f(

1

a

)=-4，∴a=e³＞1不可能；
②当0＜

1

a

＜1即a＞1时，由单调性可知f_max（x）=f（1）=-4，∴a=4＞1满足条件；
③当

1

a

＞e即0＜a＜

1

e

时，由单调性可知f_max（x）=f（e）=-4，∴a=

5

e

＞

1

e

也不可能．
综上可知a=4，进而f（x）=lnx-4x（7分）
（2）g(x)=lnx-ax+

1

x

-a∴g′(x)=

1

x

-a-

1

x2

=-(

1

x

-

1

2

)2+

1

4

-a（9分）
当

a＞0

1

4

-a≤0

，即a≥

1

4

时，g'（x）≤0恒成立，且只有x=2时g'（x）=0，
所以a≥

1

4

时，函数g（x）在区间（0，+∞）上单调．
因为所求a的取值范围是[

1

4

，+∞)．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx-ax，g（x）=f（x）+f‘（x），其中a是正实数．（1）若当..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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