设x1，x2是函数f（x）=a3x3+b2x2-a2x（a＞0）的两个极值点，且|x1|+|x2|=2．（Ⅰ）证明：0＜a≤1；（Ⅱ）证明：|b|≤439．-数学试题及答案

1、试题题目：设x1，x2是函数f（x）=a3x3+b2x2-a2x（a＞0）的两个极值点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设x₁，x₂是函数f（x）=

a

3

x3+

b

2

x2-a2x（a＞0）的两个极值点，且|x₁|+|x₂|=2．
（Ⅰ）证明：0＜a≤1；
（Ⅱ）证明：|b|≤

4

3

9

．

试题来源：重庆二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=ax²+bx-a²
∵x₁，x₂是f（x）的两个极值点，
∴x₁，x₂是方程f′（x）=0的两个实数根．…（3分）
∵a＞0，∴x1?x2=-a＜0，x1+x2=-

b

a

∴|x1|+|x2|=|x1-x2|=

b2

a2

+4a

∵|x₁|+|x₂|=2
∴

b2

a2

+4a=4即b²=4a²-4a³
∵b²≥0，∴0＜a≤1…（7分）
（Ⅱ）设g（a）=4a²-4a³，则g′（a）=8a-12a²=4a（2-3a）
由g′(a)＞0，0＜a＜

2

3

；g′(a)＜0，

2

3

＜a≤1得g（a）在区间(0，

2

3

)上是增函数，在区间(

2

3

，1)上是减函数，…（11分）
∴g(a)max=g(

2

3

)=

16

27

∴|b|≤

4

3

9

…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设x1，x2是函数f（x）=a3x3+b2x2-a2x（a＞0）的两个极值点..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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