已知函数f（x）=13x3-m+12x2（x∈R）．（1）若f（x）在x=1处取得极大值，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=13-mx（m≤1）有三个不同的根，求实数m的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=13x3-m+12x2（x∈R）．（1）若f（x）在x=1处取得极大值，求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1

3

x³-

m+1

2

x²（x∈R）．
（1）若f（x）在x=1处取得极大值，求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）=

1

3

-mx（m≤1）有三个不同的根，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=x²-（m+1）x，…（1分）
则由题意，f（x）在x=1处取得极大值
∴f′（1）=1²-（m+1）×1=0，即m=0．…（2分）
∴f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²，f′（x）=x²-x．
由f′（x）=x²-x=0，解得x=0或x=1．
令f′（x）＞0，得x＜0或x＞1；令f′（x）＜0，得0＜x＜1．
∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．…（5分）
（2）设g（x）=f（x）+mx-

1

3

=

1

3

x³-

m+1

2

x²+mx-

1

3

，
则g′（x）=x²-（m+1）x+m=（x-m）（x-1）．
令g′（x）=0，得x=m或x=1．
①当m=1时，g′（x）=（x-1）²≥0，g（x）在R上单调递增，不合题意．…（7分）

魔方格

…（9分）
因为方程f（x）=

1

3

-mx（m≤1）有三个不同的根，即函数g（x）=f（x）+mx-

1

3

与x轴有三个不同的交点，所以

-

m3

6

+

m2

2

-

1

3

＞0

m-1

2

＜0

…（10分）
解得m＜1-

3

．…（12分）
综上所述，实数m的取值范围是（-∞，1-

3

）． …（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=13x3-m+12x2（x∈R）．（1）若f（x）在x=1处取得极大值，求..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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