设a＞0，讨论函数f（x）=lnx+a（1-a）x2-2（1-a）x的单调性．-数学试题及答案

1、试题题目：设a＞0，讨论函数f（x）=lnx+a（1-a）x2-2（1-a）x的单调性..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设a＞0，讨论函数f（x）=lnx+a（1-a）x²-2（1-a）x的单调性．

试题来源：广东试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

定义域{x|x＞0}
f′（x）=

1

x

+2a(1-a)x-2(1-a)=

2a(1-a)x2-2(1-a)x+1

x

设g（x）=2a（1-a）x²-2（1-a）x+1，x∈（0，+∞）
①若a=1，则g（x）=1＞0
∴在（0，+∞）上有f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．
②若a＞1则2a（1-a）＜0，g（x）的图象开口向下，
此时△=[-2（1-a）]²-4×2a（1-a）×1=4（1-a）（1-3a）＞0
方程2a（1-a）x²-2（1-a）x+1=0有两个不等的实根
不等的实根为x₁=

2(1-a)+

4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

，x₂=

2(1-a)-

4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

且x₁＜0＜x₂
∴在（0，

2(1-a)-

4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

）上g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）是增函数；
在（

2(1-a)-

4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

，+∞）上g（x）＜0，
即f'（x）＜0，f（x）是减函数；
③若0＜a＜1则2a（1-a）＞0，g（x）的图象开口向上，
此时△=[-2（1-a）]²-4×2a（1-a）×1=4（1-a）（1-3a）
可知当

1

3

≤a＜1时，△≤0，故在（0，+∞）上，g（x）≥0，
即f'（x）≥0，f（x）是增函数；
当0＜a＜

1

3

时，△＞0，方程2a（1-a）x²-2（1-a）x+1=0有两个不等的实根
不等的实根满足

2(1-a)+

4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

＞

2(1-a)-

4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

＞0
故在（0，

2(1-a)-

4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

）和（

2(1-a)+

4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

，+∞）上g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）是增函数；
在（

2(1-a)-

4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

，

2(1-a)+

4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

）上g（x）＜0，
即f'（x）＜0，f（x）是减函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a＞0，讨论函数f（x）=lnx+a（1-a）x2-2（1-a）x的单调性..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：