已知函数f（x）=lnx+ax-a2x2（a∈R）．（I）若x=1是函数y=f（x）的极值点，求a的值；（II）求函数f（x）的单调区间．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx+ax-a2x2（a∈R）．（I）若x=1是函数y=f（x）的极值点，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx+ax-a²x²（a∈R）．
（I）若x=1是函数y=f（x）的极值点，求a的值；
（II）求函数f（x）的单调区间．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）因为f（x）=lnx+ax-a²x²其定义域为（0，+∞），
所以f′(x)=

1

x

-2a2x+a=

-2a2x2+ax+1

x

=

-(2ax+1)(ax-1)

x

∵x=1是函数y=f（x）的极值点
∴f′（1）=0
∴1+a-2a²=0
∴a=-

1

2

或a=1
经检验，a=-

1

2

或a=1时，x=1是函数y=f（x）的极值点
（II）f′(x)=

1

x

-2a2x+a=

-2a2x2+ax+1

x

=

-(2ax+1)(ax-1)

x

若a=0，f′(x)=

1

x

＞0，∴函数的单调递增区间为（0，+∞）
若a≠0，令f′(x)=

-(2ax+1)(ax-1)

x

=0，∴x1=-

1

2a

，x2=

1

a

当a＞0时，函数在区间(0，

1

a

)，f′（x）＞0，函数为增函数；在区间(

1

a

，+∞)，f′（x）＜0，函数为减函数
∴函数的单调递增区间为(0，

1

a

)，函数的单调递减区间为(

1

a

，+∞)
当a＜0时，函数在区间(0，-

1

2a

)，f′（x）＞0，函数为增函数；在区间(-

1

2a

，+∞)，f′（x）＜0，函数为减函数
∴函数的单调递增区间为(0，-

1

2a

)，函数的单调递减区间为(-

1

2a

，+∞)

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx+ax-a2x2（a∈R）．（I）若x=1是函数y=f（x）的极值点，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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