已知函数f（x）=（x3+3x2+ax+b）e-x．（1）如a=b=-3，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（-∞，α），（2，β）单调增加，在（α，2），（β，+∞）单调减少，证明：β-α＜6．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（x3+3x2+ax+b）e-x．（1）如a=b=-3，求f（x）的单调区间；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（x³+3x²+ax+b）e^-x．
（1）如a=b=-3，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在（-∞，α），（2，β）单调增加，在（α，2），（β，+∞）单调减少，证明：β-α＜6．

试题来源：宁夏试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当a=b=-3时，f（x）=（x³+3x²-3x-3）e^-x，
故f′（x）=-（x³+3x²-3x-3）e^-x+（3x²+6x-3）e^-x=-e^-x（x^-3-9x）=-x（x-3）（x+3）e^-x
当x＜-3或0＜x＜3时，f′（x）＞0；
当-3＜x＜0或x＞3时，f′（x）＜0．
从而f（x）在（-∞，-3），（0，3）单调增加，在（-3，0），（3，+∞）单调减少；
（Ⅱ）f′（x）=-（x³+3x²+ax+b）e^-x+（3x²+6x+a）e^-x=-e^-x[x³+（a-6）x+b-a]．
由条件得：f′（2）=0，即2³+2（a-6）+b-a=0，故b=4-a，
从而f′（x）=-e^-x[x³+（a-6）x+4-2a]．
因为f′（α）=f′（β）=0，
所以x³+（a-6）x+4-2a=（x-2）（x-α）（x-β）=（x-2）（x²-（α+β）x+αβ）．
将右边展开，与左边比较系数得，α+β=-2，αβ=a-2．
故β-α=

(β+α)2-4αβ

=

12-4a

．，
又（β-2）（α-2）＜0，即αβ-2（α+β）+4＜0．由此可得a＜-6．
于是β-α＞6．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（x3+3x2+ax+b）e-x．（1）如a=b=-3，求f（x）的单调区间；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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